具有高斯初值条件的非线性热方程的范数膨胀

我们考虑在 $d$ 维环面上提出的非线性热方程 $\partial_t u = \Delta u + B(u,Du)+P(u)$，其中 $P$ 是次数至多为 $3$ 的多项式，$B$ 是不是全导数的双线性映射。我们证明，若初值条件 $u_0$ 取自具有指定协方差的一列光滑高斯场，则 $u$ 以高概率表现出范数膨胀。该结果的一个推论是：不存在承载三维环面上高斯自由场且 DeTurck-Yang-Mills 热流可连续延拓至其中的分布 Banach 空间，这补充了 arXiv:2111.10652 和 arXiv:2201.03487 中近期的适定性结果。另一个推论是（确定性）非线性热方程在 Besov 空间 $B^{-1/2}_{\infty,\infty}$ 的每一点处表现出范数膨胀，从而局部不适定；$B^{-1/2}_{\infty,\infty}$ 是一个端点空间，因为方程对每一个 $\eta>-\frac12$ 在 $B^{\eta}_{\infty,\infty}$ 中局部适定。