Camassa-Holm 方程在 $B^{1}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 中柯西问题的不适定性

对于著名的 Camassa-Holm 方程，文献 \cite{d1,d2,glmy,yyg} 已研究其在 $B^{1+\frac{1}{p}}_{p,1}(\mathbb{R})$（$p\in [1,\infty)$）中的适定性以及在 $B^{1+\frac{1}{p}}_{p,r}(\mathbb{R})$（$p\in [1,\infty],\ r\in (1,\infty]$）中的不适定性，也就是说，仅剩下 Danchin 在 \cite{d1,d2} 中提出的临界情形 $B^{1}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 这一开放问题。本文通过证明范数膨胀进而证明 Camassa-Holm 方程在 $B^{1}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 中的不适定性，解决了该问题。因此，Camassa-Holm 方程在所有临界 Besov 空间 $B^{1+\frac{1}{p}}_{p,1}(\mathbb{R})$（$p\in [1,\infty]$）中的适定性与不适定性得以完备。最后，由于范数膨胀是通过选取特殊初值 $u_0\in B^{1}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 但 $u^2_{0x}\notin B^{0}_{\infty,1}(\mathbb{R})$（一例表明 $B^{0}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 不是 Banach 代数）发生的，我们进而证明该条件是必要的。即，若 $u^2_{0x}\in B^{0}_{\infty,1}(\mathbb{R})$ 成立，则 Camassa-Holm 方程有唯一解 $u(t,x)\in \mathcal{C}_T(B^{1}_{\infty,1}(\mathbb{R}))\cap \mathcal{C}^{1}_T(B^{0}_{\infty,1}(\mathbb{R}))$ 且范数膨胀不会发生。