$JN_p$与$VJN_p$函数的非平凡例子

我们研究John-Nirenberg空间$JN_p$，它是有界平均振荡空间的一种推广。本文构造了新的$JN_p$函数，增进了对该函数空间的理解。已知$L^p(Q_0) \subsetneq JN_p(Q_0) \subsetneq L^{p,\infty}(Q_0)$。我们证明若$|f|^{1/p} \in JN_p(Q_0)$，则$|f|^{1/q} \in JN_q(Q_0)$，其中$q \geq p$，但存在一个非负函数$f$，使得对每个$q \in (p,\infty)$都有$f^{1/q} \in JN_q(Q_0)$而$f^{1/p} \notin JN_p(Q_0)$。我们给出属于$JN_p(Q_0) \setminus VJN_p(Q_0)$以及属于$VJN_p(Q_0) \setminus L^p(Q_0)$的函数，证明了消失子空间$VJN_p$的非平凡性，它是$JN_p$空间的$VMO$版本。我们证明嵌入关系$JN_p(\mathbb{R}^n) \subset L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)/\mathbb{R}$。最后我们表明可将所构造的函数扩展到$\mathbb{R}^n$，从而得到属于$JN_p(\mathbb{R}^n) \setminus VJN_p(\mathbb{R}^n)$的函数以及属于$CJN_p(\mathbb{R}^n) \setminus L^p(\mathbb{R}^n)/\mathbb{R}$的函数。这里$CJN_p$是$JN_p$的一个受$CMO$空间启发的子空间。