保持一般二次 Lyapunov 函数的非标准有限差分方法

在本工作中，我们考虑了一类由常微分方程描述的动力系统，并假设其平衡点的全局渐近稳定性（GAS）是借助二次 Lyapunov 函数基于 Lyapunov 稳定性理论建立的。我们采用 Mickens 方法论构造了一族显式非标准有限差分（NSFD）方法，这些方法保持任意给定的二次 Lyapunov 函数 $V$，即它们将 $V$ 作为离散 Lyapunov 函数。在此，所提出的 NSFD 方法源于对零向量函数的一种新颖非局部近似。通过严格的数学分析，我们证明无论步长取何值，所构造的 NSFD 方法均能够保持任意给定的二次 Lyapunov 函数。作为重要推论，它们在连续时间动力系统的 GAS 方面具有动力学一致性。另一方面，本文研究了所提出 NSFD 方法的正定性。证明了它们也能保持连续时间动力系统解的正定性。最后，一系列说明性数值实验支持了理论发现，并展示了 NSFD 方法的优势。