冯·诺依曼代数上的非线性 $\ast$-Jordan 型导子

设 $\mathcal{H}$ 为复 Hilbert 空间，$\mathcal{B(H)}$ 为 $\mathcal{H}$ 上所有有界线性算子的代数，$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B(H)}$ 为不含 $I_1$ 型中心直和项的冯·诺依曼代数。对任意元素 $A, B\in \mathcal{A}$，可按 $A\diamond B = AB+BA^\ast$ 定义其 $\ast$-Jordan 乘积。令 $p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为由 $n$ 个不定元 $x_1, \cdots, x_n$ 及其 $\ast$-Jordan 乘积定义的多项式。本文证明了映射 $\delta: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B(H)}$ 满足对所有 $A_1, A_2,\cdots, A_n \in \mathcal{A}$ 有 $$\delta(p_n(A_1, A_2,\cdots, A_n))=\sum_{k=1}^n p_n(A_1,\cdots, A_{k-1}, \delta(A_k), A_{k+1},\cdots, A_n)$$ 当且仅当 $\delta$ 是一个加性 $\ast$-导子。