冯·诺依曼代数上的 Douglas 引理及其一些应用

在本文中，我们讨论了著名的 Douglas 分解引理在冯·诺依曼代数背景下的若干应用。令 $\mathcal{B}(\mathscr{H})$ 表示复 Hilbert 空间 $\mathscr{H}$ 上有界算子的集合，$\mathscr{R}$ 为作用在 $\mathscr{H}$ 上的冯·诺依曼代数。我们证明了关于冯·诺依曼代数左理想（或单侧理想）的一些新结果；例如，我们证明 $\mathscr{R}$ 的每个左理想都可实现为 $\mathcal{B}(\mathscr{H})$ 的一个左理想与 $\mathscr{R}$ 的交。我们还将 Loebl 和 Paulsen (Linear Algebra Appl. 35 (1981), 63--78) 关于 $\mathcal{B}(\mathscr{H})$ 的 $C^*$-凸子集的一个结果推广到 $\mathscr{R}$-双模的情形。