Nest代数左理想的一个类

我们引入了一类由复 Hilbert 空间上部分等位变换族确定的左理想（及子代数）。设 $\mathcal{E}$ 为在 Halmos--McLaughlin 排序下全序的部分等位变换族，$\mathcal{A}_{\mathcal{E}}$ 为 $B(H)$ 中满足对所有 $E\in \mathcal{E}$，将 $E$ 的初始空间映射到其最终空间的算子子集。我们证明 $\mathcal{A}_{\mathcal{E}}$ 为代数当且仅当 $\mathcal{A}_{\mathcal{E}}$ 为某个特定 nest 代数的左理想；若是，则 $\mathcal{E}$ 由幂等部分等位变换构成，除其上确界 $\vee \mathcal{E}$ 外，后者的范数空间为 $H$$。还证明任何左理想$\mathcal{A}_{\mathcal{E}}$可分解且其闭单球中有限秩算子子集在强拓扑下稠密。给出求解$Tx=y$和$T^*x=y$在$\mathcal{A}_{\mathcal{E}}$ 中的必要充分条件。