小有限域上低亏格的非退化曲线

在先前的一篇论文中，我们证明了对于基数足够大的有限域 $k$，$k$ 上亏格至多为 3 的所有曲线都可以由一个关于其牛顿多胞体非退化的二元洛朗多项式来建模。在本文中，我们证明恰好有两条亏格至多为 3 的曲线在有限域上不是非退化的，一条在 $\mathbb{F}_2$ 上，另一条在 $\mathbb{F}_3$ 上。这两条曲线在关于各种扩域上的有理点数量方面都具有显著的极值性质。