在互素次数扩张下变为同构的非同构曲线
代数几何
2010-01-23 v2
摘要
我们证明了可以在域 K 上找到两条非同构曲线，使得它们在 K 的两个有限扩张下彼此同构，且这两个扩张在 K 上的次数互素。更具体地说，设 K_0 为任意素域，r 和 s 为大于 1 且互素的整数。我们证明了存在 K_0 的有限扩张 K，K 的 r 次扩张 L，K 的 s 次扩张 M，以及 K 上的两条曲线 C 和 D，使得 C 和 D 在 L 和 M 上彼此同构，但在 L/K 或 M/K 的任何真子扩张上不同构。我们证明了这样的 C 和 D 的亏格不可能为 0，且若 K 为有限域，则 C 和 D 的亏格为 1 当且仅当 {r,s} = {2,3} 且 K 是 F_3 的奇数次扩张。另一方面，当 {r,s}={2,3} 时，我们证明了在除特征 3 以外的所有特征下都存在亏格为 2 的实例。我们对 {r,s} = {2,3} 情况的详细分析表明，在每一个有限域 K 上，都存在非同构曲线 C 和 D，使得它们在 K 的二次和三次扩张下彼此同构。我们的大多数证明依赖于伽罗瓦上同调。在不使用伽罗瓦上同调的情况下，我们证明了任意域上的两条非同构亏格为 0 的曲线，在基域的每一个奇数次扩张下仍然保持非同构。
引用
@article{arxiv.0801.4614,
title = {Nonisomorphic curves that become isomorphic over extensions of coprime degrees},
author = {Daniel Goldstein and Robert M. Guralnick and Everett W. Howe and Michael E. Zieve},
journal= {arXiv preprint arXiv:0801.4614},
year = {2010}
}
备注
LaTeX, 32 pages. Further references added to the discussion in Section 10