仿射平面曲线补空间之间的例外同构

本文描述了在任意域上，仿射平面 $\mathbb{A}^2$ 中几何不可约闭曲线的补空间之间不能扩展为 $\mathbb{A}^2$ 自同构的同构的几何性质。我们证明此类同构是非常例外的。特别地，只有在基础域的任何域扩张上，当两条曲线都同构于仿射直线 $\mathbb{A}^1$ 的开子集且具有相同数量的补点时，它们才会出现。此外，除了曲线同构于仿射直线 $\mathbb{A}^1$ 或穿孔直线 $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ 的情况外，该同构由其中一条曲线唯一确定，至多相差一个 $\mathbb{A}^2$ 自同构的左复合。如果一条曲线同构于 $\mathbb{A}^1$，那么两条曲线实际上都等价于直线。另外，对于任意正整数 $n$，我们构造了一个由 $n$ 个两两不等价的 $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ 闭嵌入序列，且它们具有同构的补空间。在特征 $0$ 下，我们甚至构造了具有此性质的无限序列。最后，我们给出了一个几何构造，产生了一大类具有同构补空间但彼此不同构的 $\mathbb{A}^2$ 中几何不可约闭曲线的例子，从而对 Hanspeter Kraft 提出的补空间问题给出了否定回答。这也对该问题在任意维数 $n \geq 2$ 下的全纯版本给出了否定回答。该问题由 Pierre-Marie Poloni 提出。