具有不可约边界的有理仿射曲面上的仿射直线纤维化

我们考虑定义在特征为零的代数闭域上的光滑射影曲面 $X$ 中光滑有理曲线 $B$ 的补集所得到的光滑仿射曲面上的仿射直线纤维化。我们观察到，除两种例外情况外，这些曲面 $X \setminus B$ 容许无穷多族以射影直线为基、具有不可约纤维且唯一奇异纤维的重数可任意大的 $\mathbb{A}^1$-纤维化。对于以仿射直线为基的 $\mathbb{A}^1$-纤维化，我们给出一种新的且实质自包含的证明：此类纤维化在源与目标处经自同构复合所得的等价类集合是有限的，当且仅当 $B$ 在 $X$ 中的自交数小于或等于 6。