亏格一曲线与 Brauer-Severi 簇

设 $K$ 为一个域。设 $A$ 为 $K$ 上的中心单代数，设 $X$ 为 $K$ 上相关的 Brauer-Severi 簇。最近有人提出是否存在 $K$ 上的亏格 1 曲线 $C$ 使得 $K(C)$ 分裂 $A$。换言之，是否存在 $K$ 上的亏格一曲线 $C$ 具有到 $X$ 的态射？在这篇简短笔记中，我们在 $X$ 的维数至多为 4（等价地，当 $A$ 的次数至多为 5）的情况下，显式构造了这样一条曲线。