非交叉划分、切换与同均值性

我们在大小为$n$的非交叉划分$\pi$的集合$S$上引入$n(n-1)/2$个自然对合（“切换”（toggles）），以及通过复合这些对合得到的某些复合操作。我们证明对于许多此类操作$T$，在$S$上很大一族函数$f$（包括将$\pi$映射到$\pi$的块数的函数）展现出同均值（homomesy）现象：$f$在$T$-轨道元素上的平均值对所有$T$-轨道相同。我们可以将我们的证明方法更广泛地应用于某些图的独立集集合上的切换操作。我们利用这一推广证明了关于在称为“$2$-cliquish”的图族上切换的一个定理。更广泛地说，Striker提出的这种“切换作用”哲学是动态代数组合学中当前和未来研究的热门话题。