β-映射的Perron-Frobenius算子的非主特征值

我们考虑定义在有界变差函数空间上、针对β-映射$\tau_\beta(x)=\beta x$ (模$1$) 的Perron-Frobenius算子，其中$\beta\in(1,\infty)$，并研究其除1以外的孤立特征值，本文中称为非主特征值。我们证明，使得相应Perron-Frobenius算子至少有一个非主特征值的$\beta$的集合在$(1,\infty)$中是开且稠密的。此外，我们建立了每个非主特征值作为$\beta$函数的Hölder连续性，并特别表明它是连续但不可微的，其类似性质由Flatto等人在\cite{Fl-La-Po}中猜想。另外，对于对应于孤立特征值的Perron-Frobenius算子的一个本征泛函，我们给出了该泛函作用于每个区间指示函数值的显式公式。作为其应用，我们提供了三个与非主特征值相关的结果，其中一个是：对应于非主特征值的本征泛函不能用区间上的任何复测度表示，这与主特征值1的情况形成对比。