与周期热方程相关的非自伴算子的谱

我们研究线性算子 $L = - \partial_{\theta} - \epsilon \partial_{\theta} (\sin \theta \partial_{\theta})$ 在 $\theta \in [-\pi,\pi]$ 上带周期边界条件下的谱。我们证明该算子在 $L^2([-\pi,\pi])$ 中是闭的，其定义域为 $H^1_{\rm per}([-\pi,\pi])$（当 $|\epsilon| < 2$ 时），其谱由无穷序列的孤立特征值组成，且相应的特征函数集合是完备的。通过对特征值与特征函数的数值逼近，我们表明所有特征值均为单重的，位于虚轴上，且对于较大的特征值，两个相邻特征函数之间的夹角趋于零。因此，完备的线性无关特征函数集合并不构成 $H^1_{\rm per}([-\pi,\pi])$ 中的一组基。