带噪声的发放-闸门方程： blow-up 后的延续

发放-闸门方程是神经群体的经典模型，可出现有限时间 blow-up。一个重大开放问题是如何在 blow-up 后继续求解。本文研究一种基于随机放电模型和时间变换的方法，通过引入强吸收率 1/$\epsilon$ 生成该方程的全局解。我们证明在 $\epsilon$ $\rightarrow$ 0 + 的极限下，恢复了全局解，其中发放-闸门方程被重新表述为带奇异测度的形式。该形式描述了 blow-up 后的动力学，也为 blow-up 现象本身提供了信息。主要技术难点在于处理非线性项。为克服这一困难，我们建立了两个新的估计：一种放电测度的类可积性估计，以及密度的 L2 估计。新的时间尺度在这些估计中起到了关键作用。