源自与调和平均相关非线性矩阵方程的新多变量均值

针对正定矩阵已经定义了多种多变量均值，例如 Cartan 均值、Wasserstein 均值和 R\'{e}nyi 幂均值。这些多变量均值都有对应的矩阵方程。在本文中，我们考虑以下非线性矩阵方程：$$X = \left[ \sum_{i=1}^{n} w_{i} [ (1-t) X + t A_{i} ]^{-1} \right]^{-1},$$ 其中 $t \in (0,1]$。我们证明该方程具有唯一解，并定义了一个新均值，记为 $G_{t}(\omega; \mathbb{A})$。我们探讨了均值 $G_{t}(\omega; \mathbb{A})$ 的重要性质，包括其与矩阵幂均值的关系，并证明了均值 $G_{t}(\omega; \mathbb{A})$ 关于参数 $t$ 是单调的。最后，我们将均值 $G_{t}(\omega; \mathbb{A})$ 与对数行列式散度的重心联系起来。