半直线上多孔介质方程的近场渐近行为

Kamin 和 Vázquez 在1991年证明，在半直线上具有零边界数据和非负紧支撑可积初始数据的多孔介质方程 $u_t=(u^m)_{xx}$ 的 Cauchy-Dirichlet 问题的解，在大时间下表现为具有与初始数据相同一阶矩的偶极型解，误差为 $o(t^{-1/m})$。然而，在形如 $0<x<g(t)$ 且 $g(t)=o(t^{1/(2m)})$（当 $t\to\infty$）的集合上，即所谓的近场中，偶极解本身为 $o(t^{-1/m})$，他们的结果既未给出解的正确衰减速率，也未给出非平凡的渐近轮廓。在本文中，我们将证明误差为 $o\big(t^{-(2m+1)/(2m^2)}(1+x)^{1/m}\big)$。这尤其允许在近场极限中获得非平凡的渐近轮廓，其为 $x^{1/m}$ 的倍数，从而在此尺度上改进了 Kamin 和 Vázquez 的结果。