基为 $\rho$ 时由三个同码重数拼接而成的 Narayana 牛数列数

Narayana 数列是一个三元递推数列，由递推关系 $\mathcal{N}_n=\mathcal{N}_{n-1}+\mathcal{N}_{n-3}$ 定义，初值为 $\mathcal{N}_0=0$ 且 $\mathcal{N}_1=\mathcal{N}_2=\mathcal{N}_3=1$。设 $\rho\geqslant2$ 为正整数。本研究证明了第 $n$ 个 Narayana 数 $\mathcal{N}_n$（其为基 $\rho$ 下三个同码重数的拼接）满足 $n<5.6\cdot 10^{48}\cdot \log^7\rho$。此外，研究表明在 $1 \leqslant \rho \leqslant 10$ 时，由三个同码重数拼接而成的最大 Narayana 数为 $58425=\mathcal{N}_{31}=\overline{3332200}_5=\overline{332223}_7$。