Narayana 数与 Schur-Szegő 复合

在本文中，我们找到了 Narayana 多项式 $N_n(x)$ 的一种新解释，这些多项式是 Narayana 数 $N_{n,k}$ 的生成多项式，后者计数长度为 $n$ 且恰好有 $k$ 个峰的 Dyck 路径。奇怪的是，Narayana 多项式也作为 Schur-Szegő 复合映射的特征多项式序列当 $n\to\infty$ 时的极限出现，该映射将形式为 $(x+1)^{n-1}(x+a)$ 的 $(n-1)$-元组多项式映射为其 Schur-Szegő 积（见下文）。作为推论，我们得出每个 $N_n(x)$ 的所有根均为实数且非正。此外，我们给出了多项式序列 $\{N_n(x)\}$ 的渐近根计数测度的密度函数和分布函数的显式公式。