交错性质与 Schur-Szeg\H{o} 合成

每一个形式为 $(x+1)(x^{n-1}+c_1x^{n-2}+\cdots +c_{n-1})$ 的单变量 $n$ 次多项式，都可以唯一地表示为 $n-1$ 个形式为 $(x+1)^{n-1}(x+a_i)$ 的多项式的 Schur-Szeg\H{o} 合成，参见 \cite{Ko1}, \cite{AlKo} 和 \cite{Ko2}。设 $\sigma _j:=\sum _{1\leq i_1<\cdots <i_j\leq n-1}a_{i_1}\cdots a_{i_j}$。仿射映射 $(c_1,\ldots ,c_{n-1})\mapsto (\sigma _1,\ldots ,\sigma _{n-1})$ 的特征值为正有理数，其特征向量由双曲多项式（即仅具有实根的多项式）定义。在本文中，我们证明了这些多项式根的交错性质。