涉及 Narayana 数的恒等式

Narayana 的母牛问题是一个类似于 Fibonacci 的兔子问题的问题。我们将该问题的解定义为 Narayana 母牛数。Narayana 母牛序列满足三阶递推关系 $N_{r}=N_{r-1}+N_{r-3}$ ($r\geq3$)，初始条件为 $N_{0} =0$，$N_{1} = N_{2}= 1$。本文中，对于任意 $1\leq b\leq a$ ($a\in \mathbb{Z}$)，$ar+b$ 下标的 Narayana 数将用三个相隔 $a$ 步的 Narayana 数表示。此外，我们研究了对于任意 $1\leq b\leq 4$ 相隔 $4$ 步的 Narayana 数之和 $S_{N,r}^{(4,b)}=\sum_{k=0}^{r}N_{4k+b}$。