Narayana 序列与 Brocard-Ramanujan 方程

设 $\left\lbrace a_{n}\right\rbrace_{n\geq 0}$ 为由递推关系 $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-3}$（对所有 $n\geq 3$）定义的 Narayana 序列，初始值为 $a_{0}=0$ 且 $a_{1}=a_{2}=1$。本文完整刻画了 $a_{n}+1$ 与 $a_{n}-1$ 的 $3-$进赋值，进而证明了 Brocard-Ramanujan 方程 $m!+1=u^2$ 不存在使 $u$ 为 Narayana 数的整数解 $(u,m)$。