关于着色 p 进制分拆的 p 进赋值

设 $m\in\N_{\geq 2}$，对给定 $k\in\N_{+}$ 考虑由幂级数展开 $$\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1-x^{m^{n}}\right)^{k}}=\sum_{n=0}^{\infty}A_{m,k}(n)x^{n}$$ 定义的序列 $(A_{m,k}(n))_{n\in\N}$。数 $A_{m,k}(n)$ 计数将 $n$ 表示为 $m$ 的幂之和的方式数，其中每个被加数具有 $k$ 种颜色之一。本文中我们证明对每个 $p\in\mathbb{P}_{\geq 3}$ 与 $s\in\N_{+}$，数 $A_{p,(p-1)(p^s-1)}(n)$ 的 $p$ 进赋值在 $n\geq p^s$ 时等于 1。我们还获得了关于序列 $(\nu_{p}(A_{p,(p-1)(up^s-1)}(n)))_{n\in\N}$ 在固定 $u\in\{2,\ldots,p-1\}$ 与 $p\geq 3$ 时行为的一些结果。我们的结果推广了 Gawron、Miska 与第一作者先前对 $p=2$ 所得的结论。