van der Laan-Padovan 数列两次幂之比

van der Laan-Padovan 数列 $P_n ~ (n=0, 1, \ldots)$ 定义为 $P_0=1, P_1=P_2=0$，且 $P_{n+3}=P_{n+1}+P_n$（$n=0, 1, \ldots$）。我们确定所有满足 $P_m^b=2^{g_1} 3^{g_2} 5^{g_3} 7^{g_4} P_n^a$ 的数对 $(P_m, P_n)$，其中 $g_1, g_2, g_3, g_4$，$a$，$b$ 为整数。更一般地，对于满足支配根条件的线性递推数列 $u_n$ 以及给定的素数集合 $p_1, \ldots, p_k$，存在仅有有限个数对 $(u_m, u_n)$ 满足 $u_m^b=p_1^{g_1} \cdots p_k^{g_k} u_n^a$，其中 $g_1, \ldots, g_k$，$a$，$b$ 为整数。