有限域中的完全 Padovan 序列

给定素数 $p\ge 5$ 与 $1<\kappa<p-1$,称 $\mathbb{F}_p$ 中的序列 $(a_n)_{n}$ 为 $\Phi_{\kappa}$-序列,若其以 $p-1$ 为周期,且满足线性递推 $a_n+a_{n+1}=a_{n+\kappa}$ 及 $a_0=1$。若进而有 $\{a_0,a_1,...,a_{p-2}\}=\{1,...,p-1\}$,则称该序列为完全 $\Phi_{\kappa}$-序列。例如,模 $p$ 的每个原根 $b$ 对某个(唯一)$\kappa$ 生成完全 $\Phi_{\kappa}$-序列 $a_n=b^n$。一个自然的问题是:是否每个完全 $\Phi_{\kappa}$-序列都必由原根定义。对 $\kappa=2$ 已知答案为肯定。本文重新考察该情形,并研究 $\kappa=3$ 及相伴情形 $\kappa=p-2$ 与 $\kappa=p-3$。