Padovan 与 Perrin 序列中的 Cullen 与 Woodall 数

设 $\{P_n\}_{n\ge 0}$ 和 $\{R_n\}_{n\ge 0}$ 分别表示 Padovan 序列和 Perrin 序列，两者都满足递推关系 $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$，但初始值为 $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ 和 $R_0 = 3$, $R_1 = 0$, $R_2 = 2$。Cullen 数是形如 $m\cdot 2^m + 1$（其中 $m \ge 1$ 为整数）的正整数，而 Woodall 数是形如 $m\cdot 2^m - 1$（其中 $m \ge 1$ 为整数）的正整数。本文确定 Padovan 序列中所有 Woodall 数和 Perrin 序列中所有 Cullen 数。具体而言，我们证明了 $1$ 和 $7$ 是 Padovan 序列中唯一的 Woodall 数，而 $3$ 是 Perrin 序列中唯一的 Cullen 数。