一族三次丢番图方程与4-链

在简单整数链中，若 $u_{i-1}$、$u_i$ 和 $u_{i+1}$ 是该链的三个连续项，且对 $(u_{i-1}, u_i)$ 具有某种性质，则下一个对 $(u_i, u_{i+1})$ 也具有相同的性质。我们将简单链的概念推广至 $n$-链，其中 $n$ 为正整数，且若对 $(u_{i-1}, u_{i})$ 具有某种性质，则第 $n$ 个后续对 $(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i})$ 也具有相同的性质。在此情况下，我们称 $(u_{i-1}, u_{i}, u_{i+1})$ 与 $(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i}, u_{\pm n+i+1})$ 为匹配三元组。我们利用 $4$-链研究了一族三次丢番图方程，包括 $x^3 + y^3 + x +y +1 = xyz$ 及另外三个方程。我们证明，整数对 $(x, y)$ 满足这四个方程之一当且仅当 $x$ 和 $y$ 是某个 $4$-链的连续项。我们的主要结果是，若三元组 $(u, t, vw)$ 是某个 $4$-链的三个连续项的有序列表，其中 $|t|$ 为素数，$t$ 不整除 $(u-v)$，且三元组 $(v, t, uw)$ 是第二个 $4$-链的连续项并与第一个三元组匹配，则三元组 $(-w, t, -uv)$ 是第三个 $4$-链的连续项并与另两个三元组匹配。