递推序列项之和中的卡伦数

设 $(U_n)_{n\geq 0}$ 为阶至少为 2 的给定整数线性递推序列，对任意正整数 $\ell$，令 $\ell \cdot 2^{\ell} + 1$ 为卡伦数。近期在 \cite{bmt} 中，在某些弱假设下研究了关于线性递推序列 $(U_n)_{n\geq 0}$ 的广义卡伦数。然而，其证明中存在一个错误。本文中，我们推广了他们的工作，且我们的结果修正了该错误。特别地，对给定多项式 $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$，我们考虑丢番图方程 $U_{n_1} + \cdots + U_{n_k} = \ell \cdot x^{\ell} + Q(x)$，并证明有效的有限性结果。此外，我们通过一个例子演示了我们的方法。