对固定的 $s\ge 2$，仅有有限多个 $s$-Cullen 数为 repunit

我们证明对任意整数 $s \geq 2$，仅有有限多个 $s$-Cullen 数为 repunit（循环单位数）。更确切地说，对固定的 $s \ge 2$，仅有有限多个整数 $n$、$b$ 和 $q$ 满足 $n \geq 2$、$b \geq 2$ 且 $q \geq 3$，使得 $$C_{n,s} = ns^n + 1 = \frac{b^q -1}{b-1}.$$ 证明是初等的且有效的，并用于表明对所有 $s \in [2,8896]$，除显式已知的以外不存在 $s$-Cullen repunit。