具有 Lehmer 性质数的新上界及其在 repunit 数上的应用

若合数正整数 $n$ 满足 $\phi(n)$ 整除 $n-1$，其中 $\phi$ 为欧拉 totient 函数，则称 $n$ 具有 Lehmer 性质。在本注记中我们证明：若 $n$ 具有 Lehmer 性质，则 $n\leq 2^{2^{K}}-2^{2^{K-1}}$，其中 $K$ 为 $n$ 的素因子个数。我们将此界应用于 repunit 数，并证明在集合 $$\left\{\frac{g^{n}-1}{g-1}\ \bigg|\ n,g\in\mathbb{N},\ \nu_{2}(g)+\nu_{2}(g+1)\leq L\ \right\}$$ 中至多存在有限多个具有 Lehmer 性质的数，其中 $\nu_{2}(g)$ 表示整除 $g$ 的 $2$ 的最高幂，且 $L\geq 1$ 为固定实数。