关于丢番图方程 $n!+1=m^2$ 的 Brocard-Ramanujan 问题的结果

关于丢番图方程 $n!+1=m^2$ 的 Brocard-Ramanujan 问题是一个著名的未解问题，致力于求该方程的整数解。尽管许多人尝试过，除 $n=4,~5$ 和 $7$ 外无人发现任何新解。Bruce Berndt 与 William Galway \cite{Berndt} 在 2000 年通过大规模计算机搜索对 $n$ 直至 $10^9$ 的解，亦未找到新解。本研究旨在表明这些解应满足若干必要和/或充分条件。若 $\sqrt{n!}=k+\epsilon,~n>1,~0<\epsilon<1$；则其有解当且仅当 $n!=k(k+2)$ 且 $\epsilon,~k$ 严格单调递增。它有且仅有限个解，这不依赖于任何关于 Brocard-Ramanujan 问题的猜想或先前研究。对于 Brocard-Ramanujan 问题的新解（$n\ge 10^5$），$\epsilon$ 的值应大于 $0.999 \cdots 905915$（在 228287 个 9 数字之后出现数字 0，这在 (LibreOffice Writer) 中占据超过 66 页），表明新解几乎不可能。若考虑 $n\geq 10^9$，我在个人笔记本（8GB 内存）上使用 MATHEMATICA 8 无法计算出 $\epsilon$ 值中上述 9 数字的个数。最后，宣称已发现该问题无进一步解。