丢番图方程 arctan(1/x)+arctan(m/y)= arctan(1/k)

在《数学与计算机教育》期刊 2011 年秋季刊中，作者 Unal Hasan 在单页文章“无字证明”里，给出了等式 arctan(1/3)+ arctan(1/7) = arctan(1/2) (1) 的一个纯几何证明（见参考文献[1]）。现在考虑二元丢番图方程（x 和 y 为正整数变量）arctan(1/x) + arctan(m/y) = arctan(1/k) (2)，其中 m 和 k 是给定或固定的正整数，且满足 gcd(m,k^2+1)=1，同时 gcd(m,y)=1。等式 (1) 表明，在 m=1=k 的情况下，数对 (3,7) 是方程 (2) 的一个正整数解。我们在定理 1(a) 中证明，方程 (2) 恰好有 N（即 k^2+1 的正约数个数）个不同的正整数解 (x,y)，其形式为 x=k+m(k^2+1)/d, y=km+d，其中 d 是 k^2+1 的一个正约数。作为定理 1 的结果，我们在本文第 5 节列出了九个反正切等式，包括上述不等式 (1)。