具有少量三进制数字的五的幂

在本注记中，我们将分析 Michael Bennett 在文献 [1] 中提出的一个丢番图方程，该方程对于确立五的幂在其三进制展开式中具有少量数字至关重要。我们将证明，对于正整数对$(a,b)$，当它们均为偶数或一奇一偶时，丢番图方程$3^{a}+3^{b}+2=n^5$（其中$(n,3)=1$且$a>b>0$）无解。在$(a,b)$均为奇数的情况下，存在一个已知解$2^5=3^3+3^1+2$。我们将证明，对于$n^{5}<32\left(1+3(10^6)\right)^5$，该丢番图方程没有其他解。