与模空间相关的中间 Jacobian 的 Néron 模型

设 $\pi_1:\mathcal{X} \to \Delta$ 为亏格 $g \ge 2$ 的光滑射影曲线的平坦族，退化为恰有一个节点的不可约节点曲线 $X_0$。在 $\mathcal{X}$ 上固定一个相对奇次可逆层 $\mathcal{L}$。设 $\pi_2:\mathcal{G}(2,\mathcal{L}) \to \Delta$ 为 $\mathcal{X}$ 上以 $\mathcal{L}$ 为行列式、秩 $2$ 半稳定向量丛的相对 Gieseker 模空间。由于 $\pi_2$ 在 $\Delta^*$ 上光滑，存在典范族 $\widetilde{\rho}_i:\mathbf{J}^i_{\mathcal{G}(2, \mathcal{L})_{\Delta^*}} \to \Delta^{*}$ 的第 $i$ 个中间 Jacobian，即对所有 $t \in \Delta^*$，$(\widetilde{\rho}_i)^{-1}(t)$ 是 $\pi_2^{-1}(t)$ 的第 $i$ 个中间 Jacobian。存在由 Clemens、Saito、Schnell、Zucker 以及 Green-Griffiths-Kerr 构造的不同的 Néron 模型 $\overline{\rho}_i:\overline{\mathbf{J}}_{\mathcal{G}(2, \mathcal{L})}^i \to \Delta$ 将 $\widetilde{\rho}_i$ 扩展到整个圆盘 $\Delta$。在本文中，我们证明在我们的设定下，Néron 模型 $\overline{\rho}_i$ 是典范的，意指不同的 Néron 模型重合，并且是一个解析纤维空间，其图示可容许正规函数。我们还证明对于 $1 \le i \le \max\{2,g-1\}$，$\overline{\rho}_i$ 的中心纤维是某些 $k$ 值下 $J^k(\mathrm{Jac}(\widetilde{X}_0))$ 的拷贝之积上的纤维丛，其中 $\widetilde{X}_0$ 是 $X_0$ 的规范化。特别地，对于 $g \ge 5$ 且 $i=2, 3, 4$，$\overline{\rho}_i$ 的中心纤维是半阿贝尔簇。此外，我们证明 $\pi_2$ 的（奇异）中心纤维的第 $i$ 个广义中间 Jacobian 是 Néron 模型 $\overline{\mathbf{J}}^i_{\mathcal{G}(2, \mathcal{L})}$ 的中心纤维上的纤维丛。事实上，对于 $i=2$ 该纤维丛是同构。