满足 $K^2=4p_g-8$ 的非正则典覆盖的变形与模空间

在本文中，我们研究具有至多典范奇点且满足 $K_X^2 = 4p_g(X)-8$ 的一般型非正则曲面的模，其中任意偶整数 $p_g\geq 4$。这些曲面还具有无界非正则性 $q$。我们通过研究典态射 $\varphi:X\to \mathbb{P}^N$ 的变形来进行探究，其中 $\varphi$ 是 4 次的 Galois 态射。这些典覆盖由前两位作者分类为四个不同的族。我们证明 $\varphi$ 的任意变形都经过直纹曲面的一个二重覆盖，因此绝不会是双有理的。更有趣的是，我们证明除两个例外外，$\varphi$ 的一般变形是其像的二对一映射，其正规化是具有适当非正则性的直纹曲面。我们还证明除一个族外，$X$ 的变形是无阻碍的，因此 $X$ 属于 Gieseker 模空间的唯一不可约分支，我们证明该分支是非直纹的。作为所有这些的结果，我们证明了满足严格 Beauville 不等式 $p_g > 2q-4$ 的无穷多个模空间的存在性，其具有一个真“四重”子轨迹，其中典态射的次数跃升。跳跃子轨迹的存在性与 Horikawa 所研究的满足 $K_X^2 = 2p_g - 4$ 的曲面模形成对比。这与亏格 $g\geq 3$ 的曲线模既有相似也有不同，因为如同曲线情形，典态射的次数在闭子轨迹外下降，但不同于曲线情形，它绝不会是双有理的。