$p$-进非交换 Hodge 理论中的模空间

我们提出一种全新的模论方法,用以研究光滑真刚性空间 $X$(定义于 $\mathbb C_p$ 上,系数取自任意刚性解析群 $G$)的 $p$-进 Simpson 对应,该方法基于模栈的比较。为给出其表述,我们引入“smoothoid 空间”类,它们是光滑刚性空间的 perfectoid 族,非常适于研究相对 $p$-进 Hodge 理论。对任意 smoothoid 空间 $Y$,我们进而构造“层化非交换 Hodge 对应”,即一个典范同构 $$R^1\nu_{\ast}G\xrightarrow{\sim} \mathrm{Higgs}_G$$ 其中 $\nu:Y_{v}\to Y_{et}$ 是站点的自然态射,而 $\mathrm{Higgs}_G$ 是 $Y_{et}$ 上 $G$-Higgs 丛同构类的层。我们还证明 Faltings 局部 $p$-进 Simpson 对应到 $G$-丛及 perfectoid 族的推广。我们应用这些结果推导出 \'etale $G$-丛的 $v$-下降判据,表明 $X$ 上的 $G$-Higgs 丛构成一个小型 $v$-栈 $\mathscr Higgs_G$。作为第二个应用,我们在 Betti 侧构造 Hitchin 态射的类似物:一个态射 $\mathscr Bun_{G,v}\to \mathcal A_G$,从 $X$ 上 $v$-拓扑 $G$-丛的小型 $v$-栈到 Hitchin 基。这使我们能以更几何、更典范的方式——即基于 Hitchin 态射的比较——对 $X$ 的 $p$-进 Simpson 对应给出猜想式重构。