有限域上对 $(\mathrm{GL}_{2}\times\mathrm{GL}_{2},\mathrm{diag}(\mathrm{GL}_{2}))$ 与 $(\mathrm{SL}_{3},\mathrm{GL}_{2})$ 配对的无重数诱导

我们分类了 $\mathrm{GL}_{2}(q)$ 的不可约表示,使得其在沿对角嵌入诱导到乘积群 $\mathrm{GL}_{2}(q)\times\mathrm{GL}_{2}(q)$ 时分解为无重数。结果表明,只有维数为 $1$ 和 $q-1$ 的不可约表示具有此性质。我们证明,对于通过 $g\mapsto\mathrm{diag}(g,\det g^{-1})$ 嵌入到 $\mathrm{SL}_{3}(q)$ 中的 $\mathrm{GL}_{2}(q)$,其任何不可约表示都不能无重数地诱导。相比之下,在复数域上,这些配对的全纯表示论是无重数的,且相应的矩阵系数由向量值 Jacobi 多项式编码。我们证明,在有限域情形下,对于这些例子不能期望得到类似的结果。