关于 $q$ 变形 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的非单eyl代数方法

我们从代数角度以及单eyl情形之外的视角，研究了附着于 $q$ 变形 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的各种卷积代数的表示论. 我们证明了实半单群的经典表示论许多方面可以转移到这一语境中. 特别是，我们证明了类似Harish-Chandra同构的类比，并引入了类似抛物诱导的类比. 我们利用这些工具对 $q$ 变形 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的非单eyl不可约表示进行分类. 此外，我们明确展示了它们如何收敛到经典的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的可接受对偶. 为此目的，我们定义了一个在 $\mathbb{R}_+^*$ 上的解析函数环上定义的量化单eyl包络代数的版本，它在 $q=1$ 时特化为 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 的包络 $\ast$-代数.