具有线性域大小且对任意数量辅助节点实现最小子包化的 MSR 码

子包化 $\ell$ 与域大小 $q$ 在 MSR 阵列码构造中至关重要。对于最优访问 MSR 码，Balaji 等人证明了 $\ell\geq s^{\left\lceil n/s \right\rceil}$，其中 $s = d-k+1$。Rawat 等人表明，当域大小随 $n$ 指数增长时，该下界对所有可接受的 $d$ 值均可达。此后，大量工作致力于降低域大小。然而，迄今为止，降至线性域大小仅对 $d\in\{k+1,k+2,k+3\}$ 与 $d=n-1$ 可行。本文中，我们构造了第一类显式最优访问 MSR 码，对所有介于 $k+1$ 与 $n-1$ 之间的 $d$ 具有最小子包化 $\ell = s^{\left\lceil n/s \right\rceil}$，解决了综述（Ramkumar 等人，Foundations and Trends in Communications and Information Theory: Vol. 19: No. 4）中的一个开放问题。我们进一步提出了另一类显式 MSR 码构造（非最优访问），对所有可接受 $d$ 值具有更小的子包化 $s^{\left\lceil n/(s+1)\right\rceil }$，在该综述的另一个开放问题上取得显著进展。此前，具有 $\ell=s^{\left\lceil n/(s+1)\right\rceil }$ 与 $q=O(n)$ 的 MSR 码仅知于 $d=k+1$ 与 $d=n-1$。我们构造中实现线性域大小的关键洞见是将非消失行列式的 $\binom{n}{r}$ 个全局约束化简为 $O_s(n)$ 个局部约束，这通过精心设计的奇偶校验矩阵得以实现。