极大可恢复 LRC：域大小下界与少全局奇偶校验的构造

在线存储数据量的激增使得分布式存储系统转向基于纠删码的方案。局部重建码（LRCs）已成为此类应用的首选码。这些码仅需访问少量剩余坐标即可纠正少量擦除。一个 $(n,r,h,a,q)$-LRC 是 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 的线性码，其码字符号被划分为 $g=n/r$ 个大小为 $r$ 的局部组。它具有 $h$ 个全局奇偶校验，且每个局部组有 $a$ 个局部奇偶校验。若此类 LRC 能纠正在所规定的局部与全局奇偶校验结构下信息论可纠正的所有擦除模式，则称其为极大可恢复（MR）的。我们给出了 MR LRC 所需域大小的首个非平凡下界。当 $a,h$ 为常数且局部组数 $g \ge h$（而 $r$ 可随 $n$ 增长）时，我们的下界简化为 $q\ge \Omega_{a,h}\left(n\cdot r^{\min\{a,h-2\}}\right)$。此前对于任何参数设置均未知超线性（关于 $n$）的下界。实际部署的 MR LRC 具有少量全局奇偶校验，通常为 $h=2,3$。我们以 $h\le 3$ 时小域大小的构造补充了我们的下界。对于 $h=2$，我们给出了线性域大小的构造。我们还展示了椭圆曲线与无等差数列集在 MR LRC 构造中的出人意料的应用。