Reed-Solomon 码的最优修复：达到割集界

分布式存储编码在编码理论中引发了一系列新问题，这些问题与减少系统中节点间通信的需求相关。近期大量论文致力于通过访问 $d$ 个{\em 辅助节点}（其中 $k\le d\le n-1$）来优化修复单个故障节点所需下载的总信息量（修复带宽）。根据所谓的割集界（Dimakis et al., 2010），使用 $d$ 个辅助节点的 $(n,k=n-r)$ MDS 码的修复带宽至少为 $dl/(d+1-k)$，其中 $l$ 是节点的大小。此外，许多已知的 MDS 阵列码构造均等地达到此界。在一条相关但独立的工作线上，Guruswami 和 Wootters（2016）研究了 Reed-Solomon（RS）码的修复，表明这些码可以使用比简单方法更小的带宽进行修复。同时，他们的工作以及后续论文均未能构造出等达到割集界的 RS 码（或任何标量 MDS 码），这一直是编码理论中的一个开放问题。在本文中，我们提出了该问题的一个解决方案，构造了长度为 $n$、定义在域 $q^l$（$l=\exp((1+o(1))n\log n)$）上且达到割集界的 RS 码。我们还证明了关于 $l$ 的一个几乎匹配的下界，表明超指数缩放对于使用线性修复方案达到割集界既是必要的也是充分的。更精确地说，我们证明，对于标量 MDS 码（包括 RS 码）要达到此界，子分组化 $l$ 必须满足 $l \ge \exp((1+o(1)) k\log k)$。