Reed-Solomon 码的修复问题：单节点与多节点擦除的最优修复及渐近最优节点大小

分布式存储中的修复问题涉及恢复使用纠删码（例如 Reed-Solomon（RS）码）编码的数据。我们考虑在 RS 编码存储系统中，使用最小可能的节点间通信量来修复单个或多个节点的问题。根据割集界，使用 $d$ 个辅助节点修复 $(n,k=n-r)$ MDS 码的 $h\ge 1$ 个失效节点的通信代价至少为 $dhl/(d+h-k),$，其中 $l$ 为节点大小。Guruswami 与 Wootters（2016）开创了 RS 码高效修复的研究，表明它们可以用比平凡方法更小的带宽来修复。同时，他们的工作以及后续论文都未能构造出（或任何标量 MDS 码）精确达到割集界的 RS 码。本文构造了达到单节点或多节点修复割集界的 RS 码族。在单节点情形，我们给出定义在域 $\mathbb{F}_{q^l},l=\exp((1+o(1))n\log n)$ 上、长度为 $n$ 且满足割集界的 RS 码。我们还证明了关于 $l$ 的近乎匹配下界，表明对于使用线性修复方案的标量 MDS 码，超指数标度是必要且充分的。对于多节点情形，我们构造了一族 RS 码，可普适地达到从任意 $d$ 个辅助节点子集（$k\le d\le n-h$）修复任意 $h=2,3,\dots$ 个失效节点的割集界。对于固定的校验数 $r$，所构造码的节点大小接近具有此类性质的码的最小可能节点大小。