MDS 码渐近最优修复的改进方案

我们考虑有限域 $\mathbb{F}$ 上长度为 $n$、维度为 $k$、子分组化参数为 $l$ 的 $(n,k,l)$ MDS 码。这种码的一个码字由 $n$ 个 $\mathbb{F}$ 上长度为 $l$ 的列向量组成，且其中任意 $k$ 个列向量足以恢复整个码字。这 $n$ 个向量中的每一个可存储在网络中的一个独立节点上。若 $n$ 个节点之一发生故障，我们可以通过从幸存节点下载符号来恢复其内容，最坏情况下下载的符号总数称为该码的修复带宽。根据割集界，$(n,k,l)$ MDS 码的修复带宽至少为 $l(n{-}1)/(n{-}k)$。已有若干种 MDS 码的构造方法，其修复带宽达到或渐近达到割集界。例如，Ye 和 Barg 构造了渐近达到割集界的 $(n,k,r^{n})$ Reed–Solomon 码，其中 $r = n-k$。Ye 和 Barg 还构造了最优带宽和最优更新的 $(n,k,r^{n})$ MDS 码。Wang、Tamo 和 Bruck 构造了最优带宽的 $(n, k, r^{n/(r+1)})$ MDS 码，这些码在已知的最优带宽 MDS 码中具有最小的子分组化参数。所有这些构造中的一个关键思想是用基 $r$ 表示某些整数。我们展示了如何改进这一技术，以降低 Ye 和 Barg 的两种 MDS 码构造的子分组化参数，同时实现渐近最优的修复带宽。具体地，当 $r=s^{m}$（$s$ 为整数）时，我们得到一个 $(n,k,s^{m+n-1})$ Reed–Solomon 码和一个最优更新的 $(n,k,s^{m+n-1})$ MDS 码，两者均具有渐近最优的修复带宽。我们还提出了这一思想的扩展，以降低 Wang–Tamo–Bruck 构造的子分组化参数，同时实现具有渐近最优修复带宽的转移修复方案。