基于乘积矩阵构造的标量 MSCR 码

一个 $(n,k,d)$ 协同再生码以协同方式为任意 $t~(t\!>\!1)$ 个节点故障提供最优带宽修复。特别地，MSCR（最小存储协同再生）码保持与 $(n,k)$ MDS 码相同的存储开销。假设每个节点存储 $\alpha$ 个符号，这表示码的子分组化水平。标量 MSCR 码达到最小子分组化，即 $\alpha=d-k+t$。迄今，所有已有的标量 MSCR 码构造都局限于非常特殊的参数，例如 $d=k$ 或 $k=2$ 等。在最近的工作中，Ye 和 Barg 为所有 $n,k,d,t$ 构造了 MSCR 码，然而其构造需要 $\alpha\approx{\rm exp}(n^t)$，这在实践中几乎不可行。本文中，我们给出对所有 $d\geq \max\{2k-1-t,k\}$ 的标量 MSCR 码的显式构造，其覆盖了除当 $k<2k-1-t$ 时 $k\leq d\leq 2k-2-t$ 情况外的所有可能参数。此外，作为补充结果，对于 $k<d<2k-2-t$ 我们证明了具有不变修复空间的线性标量 MSCR 码不存在。我们的构造和大多数先前的标量 MSCR 码都具有不变修复空间，且该性质因修复便利而在实践中颇具吸引力。因此，本工作给出了线性标量 MSCR 码近乎完整的描述。