MSR 码子分组化的指数下界

一个 $(n,k,\ell)$-向量 MDS 码是 $(\mathbb{F}^\ell)^n$（对某个域 $\mathbb{F}$）中维数为 $k\ell$ 的 $\mathbb{F}$-线性子空间，使得码字的任意 $k$ 个（向量）符号足以确定其余 $r=n-k$ 个（向量）符号。每个码字符号的长度 $\ell$ 称为该码的子分组化。若码字的任意单个符号可通过从其他每个符号下载 $\ell/r$ 个域元素（已知为最小可能值）来恢复，则称此类码为最小存储再生（MSR）码。MSR 码因在分布式存储系统中的吸引力而备受关注，迄今已有多种精巧的 MSR 码构造。然而，它们均遭受指数级大的子分组化 $\ell \gtrsim r^{k/r}$ 之苦。我们的主要结果是几乎紧的下界，表明对于 MSR 码，必须有 $\ell \ge \exp(\Omega(k/r))$。这解决了关于 MSR 码的一个受到广泛关注的核心开放问题。此前，已知的下界为 $\approx \exp(\sqrt{k/r})$，以及对一类受限的“最优访问”MSR 码的紧下界。