极小子流形及相关方程的移动中心单调性公式

单调性公式对许多几何偏微分方程起着关键作用，尤其对其正则性理论而言。对于欧几里得球中的极小子流形，经典单调性公式意味着若此类子流形穿过球心，则其面积至少等于赤道盘的面积。最近 Brendle 与 Hung 证明了当规定点不在球心时极小子流形的尖锐面积界，解决了 Alexander、Hoffman 和 Osserman 的一个猜想。他们的证明涉及对巧妙选取的向量场的渐近分析以及散度定理。本文中，我们证明了极小子流形的一个尖锐“移动中心”单调性公式，它蕴含上述面积界。我们还描述了平稳 $p$-调和映射、平均曲率流与调和映射热流的类似移动中心单调性公式。