群与三维流形的广义 Alexander 多项式次数的单调性
几何拓扑
2009-11-11 v1 群论
摘要
我们研究有限展示群 G 的高阶次数 db_n 的行为。这些 db_n 是从 H^1(G;Z) 到 Z 的函数,其值等于某些高阶 Alexander 多项式的次数。我们证明若 def(G) 至少为 1 或 G 是紧可定向三维流形的基本群,则对 n 至少为 1,db_n 是 n 的单调递增函数。这对一般群不成立。作为推论,我们证明若形如 X 乘 S^1 的 4 流形容许一个辛结构,则 X “在代数上类似于”一个纤维于 S^1 上的三维流形,从而对 Taubes 的一个问题给出肯定回答。这推广了 S. Vidussi 的一个定理,并改进了作者先前的结果。我们还发现了三维流形 X 的一些新条件,保证对 psi 属于 H^1(X;\Z) 及 f:Y -> X 为 pi_1 上的满射,有 f*(psi) 的 Thurston 范数至少与 psi 的 Thurston 范数一样大。当 X 与 Y 为纽结补时,这给出了 J. Simon 一个问题部分的回答。更一般地,我们定义对应于满射 G -> Gamma(其中 Gamma 为多挠自由交换群)的 Gamma-次数 db_Gamma。在某些条件下,我们证明当变动群时它们满足单调性条件。作为结果,我们证明这些广义次数给出了群的正亏格的障碍,以及有限展示群为紧可定向三维流形基本群的障碍。
引用
@article{arxiv.math/0501190,
title = {Monotonicity of Degrees of Generalized Alexander Polynomials of Groups and 3-Manifolds},
author = {Shelly L. Harvey},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0501190},
year = {2009}
}
备注
19 pages