平面三角剖分的支配集

1996 年，Tarjan 和 Matheson 证明了如果 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点的平面三角剖分圆盘，则 $\gamma (G)\le n/3$，其中 $\gamma (G)$ 表示 $G$ 的支配数。此外，他们猜想对于足够大的 $n$，常数 $1/3$ 可以改进为 $1/4$。该猜想尚未解决。本文证明了如果 $G$ 是一个具有 $|V(G)|=n$ 个顶点且最小度至少为 4 的哈密顿平面三角剖分，则 $\gamma (G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\}$。由此可直接得出，如果 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点的 4-连通平面三角剖分，则 $\gamma (G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\}$。进而得出，如果 $n\ge 26$，则 $\gamma (G)\le \lfloor 5n/16\rfloor$。