平面三角剖分中哈密顿圈的数量

Whitney 于 1931 年证明 4-连通平面三角剖分是哈密顿的。Hakimi、Schmeichel 与 Thomassen 在 1979 年猜想：若 $G$ 是一个含 $n$ 个顶点的 4-连通平面三角剖分，则 $G$ 至少含有 $2(n-2)(n-4)$ 个哈密顿圈，且等号成立当且仅当 $G$ 是一个双轮图。另一方面，Alahmadi、Aldred 与 Thomassen 近期的结果表明，5-连通平面三角剖分中含有指数多个哈密顿圈。本文考虑不含过多分离 4-圈或最小度数为 5 的 4-连通平面 $n$ 顶点三角剖分 $G$。我们证明：若 $G$ 有 $O(n/{\log}_2 n)$ 个分离 4-圈，则 $G$ 有 $\Omega(n^2)$ 个哈密顿圈；若 $\delta(G)\ge 5$，则 $G$ 有 $2^{\Omega(n^{1/4})}$ 个哈密顿圈。两项结果均改进了先前工作。此外，证明中涉及“双轮图”结构，为上述猜想提供了进一步的证据。